Електропостачання та електроустаткування 37 Висновки Для тягових підстанцій системи електричної тяги постійного струму існують схемні рішення засто- сування пристроїв компенсації безпосередньо для випрямлячів, проте жоден з них не знайшов широкого застосування на залізницях України. На сучасному етапі розвитку залізниць та ринкових відносин у сфері електроенергетики на тягову підстанцію постійного струму в залежності від розташування та завантаженості припадає від 84 до 705 грн. плати за перетікання реактивної електроенергії на добу. Розрахунки, які виконані на підставі профілів навантаження реальних тягових підстанцій постійного струму Придніпровської залізниці з використанням запропонованої методики показують, що можна до- сягти зниження добової вартості перетікань реактивної електроенергії на величину від 56 до 308 грн Запропонована методика визначення необхідної потужності компенсуючих пристроїв для забезпе- чення максимального зниження плати за перетікання реактивної електроенергії дозволяє визначити оп- тимальну потужність компенсуючого пристрою і для інших промислових споживачів. Список літератури 1. Бородулин, Б. М. Конденсаторные установки электрифицированных железных дорог [Текст] / Б. М. Бородулин, Л. А. Герман, Г. А. Николаев. – М.: Транспорт, 1983. – 183 с. 2. Методика обчислення плати за перетікання реактивної електроенергії між електропередавальною ор- ганізацією та її споживачами. Затв.: Наказ Міністерства палива та енергетики України 17.01.2002, № 19 [Текст] / Мін-во палива та енергетики України. – К.: 2002. – 14 с. 3. Економічно доцільні обсяги реактивної енергії, яка перетікає між електричними мережами електро- передавальної організації і споживача. Методика визначення // Промислова електроенергетика та елект- ротехніка. Промелектро. – 2005. – № 2. – С. 24–29. 4. Рогальський, Б. С. Методи поетапного розрахунку компенсації реактивної потужності в електричних мережах енергосистем і споживачів [Текст] / Б. С. Рогальський // Промислова електроенергетика та елек- тротехніка. Промелектро. – 2001. – № 1. – С. 22–38. 5. Рогальський, Б. С. Удосконалення методу розрахунку компенсації реактивної потужності / Б. С. Рогальський, Ю. В. Грицюк, І. П. Сосенко // Наукові праці ВНТУ. Енергетика та електротехніка. – 2009. – № 1. – С. 1-6. [URL: http://praci.vntu.edu.ua/article/view/1151] 6. Босий, Д. О. Баланс електричної енергії тягової підстанції постійного струму за різних рівнів несиме- трії напруги системи зовнішнього електропостачання [Текст] / Д. О. Босий, Д. Р. Земський // Восточно- Европейский журнал передовых технологий. – 2012. – № 2/8 (68). – С. 52-57. 7. Сиченко В. Г. Показники якості електроживлення у тягових мережах постійного струму / В. Г. Сиченко // Праці інституту електродинаміки Національної академії наук України: зб. наук. праць. спец. вип, Ч. – Т. 2. – С. 5-13. 8. Сиченко В. Г. Дослідження електромагнітних процесів у системі тягового електропостачання постій- ного струму: проблеми, технічні засоби та реалізація / В. Г. Сиченко, В. А. Зубенко, Д. О. Босий // Інфо- рмаційно-керуючі системи на залізничному транспорті. – 2011. – № 2. – С. 58-63. Рекомендовано до друку: д-ром техн. наук, проф. Сиченко В.Г. УДК 519.876.5 М.А. Дороніна (Україна, Дніпропетровськ, Державний ВНЗ «Національний гірничий університет») ОСОБЛИВОСТІ МОДЕЛЮВАННЯ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ПОЛІВ ІЗ ЗАСТОСУВАННЯМ ЧИСЛОВИХ МЕТОДІВ Вступ. Одним із актуальних питань при дослідженні процесів збагачення корисних копалин є моде- лювання розподілу електромагнітних полів та визначення їх силових характеристик. Для вирішення про- блем, що виникають при моделюванні електромагнітних полів, широко використовується сучасне про- грамне забезпечення, в основі якого лежать алгоритми числових методів. Ці методи дозволяють констру- ктивно проаналізувати та розрахувати потрібні характеристики полів. Мета роботи. Провести порівняльний аналіз програмних продуктів числової математики та визна- чити особливості моделювання електромагнітних полів http://praci.vntu.edu.ua/article/view/1151 Електропостачання та електроустаткування 38 Основна частина. Раніше для розв’язання задач аналізу та розрахунку електромагнітних полів ши- роко використовувалися методи аналогового моделювання, в основу яких покладено принципи подібно- сті. Ці методи можна поділити на методи фізичної та математичної подібності. При фізичному моделю- ванні відповідні величини моделі та оригіналу мають подібну фізичну природу. При математичній поді- бності модель та оригінал можуть мати різну фізичну природу, але мають однакову математичну струк- туру. До переваг таких методів можна віднести універсальність та можливість моделювання процесів у реальному часовому масштабі. Недоліками є те, що потрібні попередні розрахунки, для забезпечення умов подібності та значні витрати на виготовлення моделей. Також вдало використовуються методи аналітичного моделювання. Це методи дзеркального та конформного відображення, методи інтегрування рівняння Пуассона та рівняння Лапласа. Ці методи не є універсальними, бо часто виникають складності з математичними перетвореннями та їх реалізацією. У тому разі, коли розрахунок аналітичними методами не є доцільним, використовують методи графічної побудови полів. Але і це дозволяє розв’язувати лише обмежену групу задач. Отже більш раціональним є використання числових методів моделювання. Числові методи моделювання електромагнітних полів базуються на використанні принципів прос- торової та просторово-часової дискретизації. З їхньою допомогою можна отримати результати з ураху- ванням геометрії деталей та властивостей матеріалів. Можна виділити два варіанти використання числових методів: 1. в частотній області, коли моделювання гармонійних полів відбувається на фіксованій частоті; 2. в часовій області, коли моделювання полів залежить від часу. Перший метод дозволяє враховувати залежність властивостей матеріалу від частоти, але тоді складніше враховувати не лінійність параметрів матеріалу. Другий дозволяє дослідити зміни у часі, виявити не лі- нійність параметрів, але складніше встановити залежність від частоти. Взагалі задачі моделювання електромагнітних полів зводяться до розв’язання рівнянь Максвелла. Для їх розв’язання рівнянь необхідно правильно вибрати крайові умови, що зв’язують значення напру- женості та індукції магнітного та електричного полів по різні сторони від поверхонь, що характеризу- ються певною поверхневою щільністю електричного заряду. Для кожної окремої задачі ці рівняння треба розв’язувати заново, враховуючи певні початкові та крайові умови. Тому доцільніше використовувати програмне забезпечення, в основу якого покладені ал- горитми числових методів. Одним із таких є метод моментів, який є окремим випадком методу Гальоркі- на [1]. Є задача, що описується диференціальним рівнянням в обмеженій області D(x,y) 0L(u )  . (1) При крайових умовах 0S(u )  невідому u достатньо точно можна описати наближеним рішенням: 0 1 N a j j j u u ( x, y ) a ( x, y )     , (2) де j - відомі аналітичні базові функції; ja - коефіцієнти, які потрібно визначити. Тоді як функція 0u ( x, y ) введена, для того щоб забезпечити виконання крайових умов. При підста- новці рівняння (2) в (1) отримаємо відхил 0 1 nF( a ,a , ,a ,x, y ) , відмінний від нуля: 0 1 0 0 N n a j j j F( a ,a , ,a ,x, y ) L(u ) L(u ) a L( )      , (3) Тоді невідомі коефіцієнти ja можна знайти з матричного рівняння: 0 1 N j j k k j a ( L( ), ) ( L(u ), )      . (4) Для методу моментів вагові коефіцієнти знаходять з виразу k k ( x ) x  , або інколи зручніше використо- вувати метод інтегральних співвідношень. Тоді вагова функція задається як 1 k k (u ) ( u )  . Електропостачання та електроустаткування 39 Як ми бачимо, цей метод перетворює диференціальне рівняння в систему алгебраїчних рівнянь. Ме- тод моментів лежить в основі деяких програмних продуктів EMAP та ASAP. Тому він є дуже зручним для моделювання електромагнітних полів, але в ньому важко враховувати складні геометричні фігури та отримана матриця є повністю заповненою, а не розрідженою, як у сіткових методах, внаслідок чого зна- чно збільшується час обчислення. Сіткові методи добре зарекомендували себе при моделюванні електромагнітних полів. Такі методи дозволяють отримати конкретні числові рішення. Для цього певну величину у просторово-часовій облас- ті заміняють максимально наближеним дискретним аналогом. Звісно, сіткові методи мають значну похи- бку при дискретизації, але її можна мінімізувати, збільшивши кількість вузлів. Суть методу кінцевих різниць полягає в заміні диференціальних коефіцієнтів рівняння на різницеві коефіцієнти, що дозволяє звести неперервне рівняння до його дискретного аналога: 0 0-( x i ) u( x )u x i    , (5) де i - шаг дискретизації. Значною перевагою цього методу є слабка залежність від геометрії конструкції, граничних умов. Але для забезпечення точних результатів шаг дискретизації 0i , це потребує великих витрат пам’яті та значний час розрахунку. Цей метод найзручніше використовувати для моделювання полів у середині конструкції, оскільки обмежена область дозволяє підібрати шаг дискретизації, який забезпечить потрібну точність, але не буде потребувати значних ресурсів. У цьому методі доволі важко враховувати складні неоднорідні геометричні форми конструкції, тому зазвичай метод кінцевих різниць використовується при моделюванні однорідної розрахункової обла- сті. Метод кінцевих різниць використовується в програмних пакетах: Quick Wave польської ком- панії QWED, Microwave Studio німецької компа- нії CST, Fidelity компанії Zeland Software, XFDTD американської компанії Remcom. Основною ідеєю методу кінцевих елементів є розбиття розрахункової області на ряд незале- жних ділянок, а потім побудова апроксимації окремо для кожної ділянки. Апроксимуючі бази- сні функції можуть бути визначені окремо для кожної ділянки. Якщо ці ділянки мають просту форму і базисні функції, то доволі просто вико- ристовувати зазначений спосіб для конструкцій складної форми[2]. Метод кінцевих елементів широко використовується в програмних продук- тах: HFSS компанії Ansoft, ANSYS та Multiphys- ics компанії ANSYS, Femlab компанії COOSMO та ELCUT російської компанії Тор. Точність цих методів залежить від вибору базисних функцій, кроку дискретизації та похиб- ки округлення. Порівняти рішення крайової за- дачі з її дискретним аналогом можна лише у вуз- лах сітки. Якщо 𝑢𝑛 – сіткова функція визначена на сітці 𝑆𝑛, значення якої у вузлах сітки буде розв’язанням крайової задачі 𝐿(𝑢) = 𝑓. Результа- ти дискретного аналога будуть тим точніше, чим менше величина ‖�̂�𝑛 − 𝑢𝑛‖𝑛. Таким чином точ- ність методу можна регулювати. Рекомендується вибирати похибку у 2-5 разів меншу непоправ- ної, яка була обумовлена неточністю початкових даних і не може бути скорегована в процесі об- числення. Аналізуючи ці методи можна виділити пев- ний алгоритм моделювання електромагнітних полів, представлений на рис. 1. Рис. 1. Узагальнений алгоритм моделювання електромагнітних полів Електропостачання та електроустаткування 40 Кожний з розглянутих методів має свої переваги та недоліки, які зведені в табл. 1. Таблиця 1 Метод Врахування геометричних форм конструкції Точність методу Час обчислення за допомогою програмних продуктів Метод моментів Складно враховувати, бо кожна з базисних функцій кожної ділянки має задово- льняти крайовим та почат- ковим умовам . Найточніший з наве- дених. Основну похи- бку може дати непра- вильно вибрана бази- сна функція. Великий Метод кінце- вих різниць Складно враховувати, тому рекомендується застосовува- ти для моделювання полів у середині конструкції Залежить від вибору крайових умов та кроку дискретизації. Середній, залежить від кроку дискретиза- ції Метод кінце- вих елементів Шляхом використання ізо- параметричного перетворен- ня не складно врахувати складні геометричні форми. Може давати дуже точні результати, це залежатиме від вибо- ру кроку дискети- зації. Середній, залежить від кроку дискети- зації Найуніверсальнішим можна вважати метод кінцевих елементів. За його допомогою можна врахува- ти складні геометричні форми конструкції, навіть якщо є розриви. Вибравши оптимальний крок дискре- тизації забезпечити потрібну точність, а також можна вибрати нерівномірний крок дискретизації, тобто у вузлах де нас цікавить розподіл полів можна задати більш шильний крок, а чим далі - менший. Також цей метод дозволяє враховувати властивості матеріалів конструкції та не потребує складних попередніх розрахунків. Побудуємо модель барабана магнітного сепаратора (рис. 2.) за допомогою методу кінцевих елемен- тів та отримаємо картину розподілу поля [3]. Рис. 2. Схема магнітного сепаратора Етапи моделювання сегмента магнітної системи сепаратора показані на рис. 3., яка отримана за до- помогою програмного продукту ELCUT [5]. Електропостачання та електроустаткування 41 a b c Рис. 3. (а) геометрична модель сегменту конструкції сепаратора, (b) побудова сіткової моделі, (c) картина розподілу поля. Висновок. Усі наведені методи є ефективними для розв’язання задач, зв’язаних з моделюванням електромагнітних полів. Для забезпечення потрібної точності та доцільного використання методів потрі- бно звернути увагу на їх особливості з урахування геометричної форми та властивостей матеріалу конс- трукції, точності та часу обчислення. У деяких випадках можуть знадобитися попередні аналітичні роз- рахунки, це також може вплинути на вибір метода. Зараз все частіше для отримання потрібних результа- тів моделювання застосовують модифіковані методи на основі наведених. Список літератури 1 Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина / К. Флетчер: пер. с англ. ─ М: Мир 1988 -352 с. 2.Самарский А.А. Численные методы: Учеб. пособие для вузов / А.А. Самарский, А.В. Гулин. ─ М: Наука 1989. - 432 с. 3. Шубов Л.Я. Технологии отходов: учебник / Л.Я. Шубов, Старовский М.Е. ─ М.: ГОУВПО «МГУС», 2006. - 411с. 4. Моррис І.Д. Моделирование электромагнитных полей - как выбрать лучший метод // Электроника. ─ 2012.─ №3. ─ С. 124-129. 5. Официальный сайт ELCUT, руководство пользователя [Электронный ресурс] ─ Режим доступа к данным: http://elcut.ru/free_doc_r.htm Рекомендовано до друку: д-ром техн. наук, проф. Корсуном В.І. УДК 621.331: 621.311.4 О.О. Матусевич, канд. техн. наук, Д.В. Міронов (Україна, Дніпропетровськ, Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна) МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ РИЗИК-АНАЛІЗУ ТЕХНІЧНОГО СТАНУ СИЛОВОГО ОБЛАДНАННЯ ТЯГОВИХ ПІДСТАНЦІЙ Вступ Експлуатація складних технічних систем, у тому числі обладнання тягових підстанцій (ТП) елект- рифікованих залізниць, пов’язана з довгостроковим плануванням його застосування та прийняттям рі- шень про можливість експлуатації без проведення ремонтно-відновлювальних робіт протягом заданого терміну служби. Для вирішення цього завдання розробляються і використовуються методики призначен- ня залишкового ресурсу технічних систем, які дозволяють з тією чи іншою точністю прогнозувати мо- мент настання їх граничного стану, тривала експлуатація яких без належного діагностування та якісного технічного обслуговування і ремонту (ТО і Р), може привести до виходу їх з ладу та значних матеріаль- них збитків. Також, поступове старіння парку устаткування, зниження запасів міцності в обладнанні гос- тро поставили питання оцінки його стану і ступеня ризику експлуатації за межами нормованого терміну служби. Функціонування системи ТО і Р включає в себе моніторинг технічного стану обладнання, аналіз отриманих результатів, своєчасне проведення ремонтів з частковим або повним відновленням ресурсу обладнання при прийнятному рівні матеріальних і фінансових витрат. Однак, на даний час спостерігаєть- ся суттєве зниження ефективності використовуваної системи планово-попереджувальних ремонтів (ППР)